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2.1 - Sommari
Nesso tra Topologia di R e Successioni - Sommario

  1. Preambolo

Argomenti che collegano gli argomenti della topologia della retta reale e le successioni.

Questo sommario-capitolo è interessante in quanto qui si richiedono la preliminare conoscenza dei seguenti tre macro argomenti:

A. Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß

Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß

Richiami al primo teorema di Bolzano-Weierstraß; interpretazione del medesimo teorema in termini di successioni; enunciato del teorema; dimostrazione del teorema.

0. Richiamo al primo teorema di B.W.

Richiamiamo il primo teorema di Bolzano-Weierstraß in Punti di aderenza e di accumulazione.

Teorema 1 (richiamo).).

Sia , un insieme infinito e limitato. (Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore, DEF 1.3.)
Allora si verifica il seguente: ovvero che esista un numero che sia punto di accumulazione per .

1. Enunciato del teorema

Idea. Abbiamo appena letto l'enunciato del primo teorema di Bolzano-Weierstraß, che viene anche detta come la "forma insiemistica" di tale teorema: ora la vogliamo interpretare con le nozioni di successione, successione convergente, e di sotto successione. (Successione e Sottosuccessione)

Teorema 2 (Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß.).

Sia una successione reale e limitata (Successione e Sottosuccessione, DEF 1.2., DEF 1.3.)
Allora deve esistere una sotto successione convergente (Successione e Sottosuccessione, DEF 2.1.), ovvero deve esistere

2. Dimostrazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del secondo teorema di Bolzano-Weierstraß (Teorema 2 (Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß.))
Chiamo l'insieme dei valori di , ovvero l'insieme immagine della successione .
Ora ci sono due possibilità: che sia o finito o infinito.

  1. è finito: esempi di questo caso può essere la successione costante oppure la successione pari-dispari .
    Allora almeno un elemento in è immagine di infiniti indici ; scelgo allora una sotto successione opportuna tale da risultare una successione costante, che è ovviamente convergente.
    ESEMPIO 2.1. Ad esempio per basta scegliere o . L'idea è che abbiamo e scegliamo solo i termini pari o dispari: così abbiamo la successione estratta
  2. è infinito: ma comunque la successione , per ipotesi, è limitata. Allora è un insieme limitato e infinito; qui applico il primo teorema di Bolzano-Weierstraß richiamatasi all'inizio. Chiamo dunque il punto di accumulazione (Definizione 7 (Punto di accumulazione, derivato di un insieme.)) per : .
    Allora per definizione in ogni intorno di ci sono infiniti punti di .
    Ovvero in ogni intorno di ci sono infiniti punti-valori .
    Ora ci chiediamo se è possibile costruire una sottosuccessione tale che Allora per avere una risposta (che sarà ovviamente positiva) riflettiamo un attimo.
    0. Considero l'intorno e scelgo in questo intorno.
    1. Stesso discorso per l'intorno , con , ma anche tale che per conservare l'ordine. Posso farlo in quanto ci sono infiniti punti (ovvero valori ) attorno .
    2. Vado avanti così fino all'infinito; ho allora Allora Considerando che Allora per il teorema dei due carabinieri (Osservazione 5 (i teoremi per i limiti di funzioni valgono anche per i limiti di successioni)) ho FIGURA 2.1. (L'idea dell'ultimo passaggio)
      Pasted image 20231220182755.png

B. Insiemi compatti in R

Insiemi compatti in R
Insiemi compatti in R

Definizione di insiemi compatti in R; R come spazio metrico; teorema di caratterizzazione dei compatti in R; lemma di caratterizzazione della chiusura tramite la successione; dimostrazione del teorema.

0. Preambolo - Spazi metrici e topologici

Osservazione 1 (spazi metrici e topologici).

Osserviamo che dal titolo leggiamo che stiamo in specifica prendendo l'insieme , in quanto questo è un insieme su cui possiamo definire una distanza (Definizione 1 (Distanza Euclidea.)). Infatti si dice che è uno spazio metrico, come lo è pure . Altrimenti un insieme su cui non può essere definita una distanza si dice spazio topologico.
Per approfondire questo tema rivolgersi alla dispensa di D.D.S., capitolo 10.2, p. 33.

1. Definizione di insieme compatto in R

Definizione 2 (Insieme compatto in R per successioni.).

Sia . si dice compatto per successione (d'ora in poi diremo compatto e basta) se vale la seguente proprietà: se da ogni successione a valori in posso estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto .

Osservazione 3 (la necessità di un teorema di caratterizzazione dei compatti).

Con questa definizione, un insieme compatto sembra un ente di cui è quasi impossibile da verificare: infatti diventa interessante trovare una caratterizzazione alternativa con un teorema.

2. Teorema di caratterizzazione dei compatti

Teorema 4 (Teorema di caratterizzazione dei compatti in R.).

Sia .
Tesi. Allora è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Lemma di caratterizzazione della chiusura

Prima di poter procedere alla dimostrazione, ci serve il seguente lemma.

Lemma 5 (Caratterizzazione della chiusura tramite le successioni.).

Sia .
Allora è chiuso (Definizione 2.1. (Insieme Chiuso)) se e solo se vale la seguente proprietà:
Se una qualsiasi successione a valori in è convergente, allora il limite appartiene all'insieme .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 2.1. (Lemma 5 (Caratterizzazione della chiusura tramite le successioni.))
Questo è un teorema del tipo , dimostriamo quindi entrambi i versi delle implicazioni.

  1. "": Sia chiuso; ora supponiamo (per assurdo) che sia falsa la proprietà . Ovvero supponiamo che esiste una successione a valori in tale che il suo punto di convergenza appartiene ad un punto fuori da (ovvero al suo complementare ).
    Però è chiuso, quindi per definizione è aperto: quindi abbiamo i seguenti. Però allo stesso tempo abbiamo, per definizione Tuttavia questo è un assurdo in quanto sappiamo che appartiene a , ma invece l'intorno contiene solo elementi di . Pertanto questo è impossibile! Allora la proprietà è e dev'essere vera.

FIGURA 2.1.a. (La prima contraddizione)
Pasted image 20231220180247.png

  1. "": Sia vera la proprietà , allora dimostro che sia aperto (oppure chiuso).
    Per assurdo suppongo che non sia aperto: facciamo la negazione della proprietà, Allora il gioco è fatto; quindi prendo l'intorno posso individuare una successione e applicare la regoletta appena individuata Quindi ho trovato una successione a valori in che converge ad un punto fuori di , che è impossibile in quanto violerebbe la l'ipotesi iniziale.

FIGURA 2.1.b. (La seconda contraddizione)
Pasted image 20231220181616.png

Dimostrazione del teorema

Ora siamo pronti per dimostrare il teorema di caratterizzazione dei compatti.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di caratterizzazione dei compatti (Teorema 4 (Teorema di caratterizzazione dei compatti in R.))
Questo è un teorema del tipo se e solo se, quindi dimostriamo entrambi i lati delle implicazioni.

  1. "": Suppongo che sia compatto, allora devo dimostrare che è chiuso è limitato.
    Per assurdo suppongo che non sia limitato: ora se considero una successione a valori in divergente, allora per ipotesi questa deve avere una sottosuccessione convergente. Per esempio se è superiormente illimitato (Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore) ho la seguente implicazione allora non avrebbe sottosuccessioni convergenti ad un punto in .
    Per assurdo suppongo che sia non chiuso; allora non vale la proprietà del Lemma 5 (Caratterizzazione della chiusura tramite le successioni.) ovvero èPerciò tutte le sottosuccessioni di convergono ad un punto .
    Però essendo per ipotesi compatto, la successione dovrebbe avere almeno una successione che converge ad un punto in , dandoci un assurdo.
    Come si può vedere deve essere necessariamente sia limitato che chiuso.

  2. "": Sia chiuso e limitato, proviamo che è compatto.
    Prendo una successione in .
    Se è limitato allora per il Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß deve esistere una sottosuccessione convergente e la indichiamo con però è anche chiuso, e per la proprietà del lemma 2.1. (Lemma 5 (Caratterizzazione della chiusura tramite le successioni.)) deve valere che il valore per cui converge il limite della sottosuccessione appartiene a ; ovvero Pertanto è compatto in quanto abbiamo individuato una sottosuccessione convergente ad un punto in .

C. Successioni di Cauchy

Successioni di Cauchy
Successioni di Cauchy

Definizione di successione di Cauchy; teorema sulla successione di Cauchy; teorema di completezza di R; esiti della dimostrazione del teorema di completezza di R.

1. Definizione di Successione di Cauchy

Definizione 1 (Successione di Cauchy.).

Sia una successione reale (Successione e Sottosuccessione, DEF 1.2.), allora definiamo come successione di Cauchy se vale la seguente:

Osservazione 2 (Osservazione 1.1. (convergenza e Cauchy)).

Osserviamo che questa definizione è ben diversa dalla nozione di convergenza: con la convergenza abbiamo un punto che si avvicina ad un certo valore, invece qui abbiamo due punti e che si "avvicinano" tra di loro.
Tuttavia in è possibile dire che questi sono equivalenti in quanto ci troviamo in uno spazio metrico. Dimostreremo questa affermazione con due teoremi.

Teorema 3 (di caratterizzazione delle successioni convergenti).

Se una successione in è convergente, allora è di Cauchy.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.2. (Teorema 3 (di caratterizzazione delle successioni convergenti))
Sia convergente, allora Cioè Allora se abbiamo i seguenti: Allora sommandoli abbiamo Dunque abbiamo verificato che è la definizione della successione di Cauchy.

Completezza di R

Teorema 4 (Completezza di R.).

In le successioni di Cauchy sono convergenti.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di completezza di R (Teorema 4 (Completezza di R.))
La dimostrazione si articola in tre parti, ad ognuna con un suo esito.

  1. Una successione di Cauchy è limitata. Infatti di Cauchy significa Fissando ottengo Quindi Analogamente Quindi Allora :

    1. Fino a si comporta come vuole;
    2. Da in poi tutti i suoi valori immagine sono tutti dentro un intervallo fissato. Ovvero è questa successione è limitata.

  2. Per il Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß, se è di Cauchy ed è limitata (ed è reale per ipotesi) allora esiste una successione estratta convergente.

  3. "Se una successione di Cauchy ha una sottosuccessione convergente, allora la successione originaria è convergente.": infatti teniamo in conto i seguenti:

    • è di Cauchy vuol dire
    • è convergente a vuol dire Ora per far valere prendiamo e . Ora li "combiniamo" e valuto . Ora vale ; allora e abbiamo esattamente la definizione di
Table Of Contents
Preambolo
A. Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß
0. Richiamo al primo teorema di B.W.
1. Enunciato del teorema
2. Dimostrazione
B. Insiemi compatti in R
0. Preambolo - Spazi metrici e topologici
1. Definizione di insieme compatto in R
2. Teorema di caratterizzazione dei compatti
Lemma di caratterizzazione della chiusura
Dimostrazione del teorema
C. Successioni di Cauchy
1. Definizione di Successione di Cauchy
Completezza di R