data: 2023-11-07
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Nesso tra Topologia di R e Successioni - Sommario
tipologia: appunti
stato: "0"Argomenti che collegano gli argomenti della topologia della retta reale e le successioni.
Questo sommario-capitolo è interessante in quanto qui si richiedono la preliminare conoscenza dei seguenti tre macro argomenti:
data: 2023-11-07
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß
tipologia: appunti
stato: "1"Richiami al primo teorema di Bolzano-Weierstraß; interpretazione del medesimo teorema in termini di successioni; enunciato del teorema; dimostrazione del teorema.
Richiamiamo il primo teorema di Bolzano-Weierstraß in Punti di aderenza e di accumulazionePunti di aderenza e di accumulazione.
Sia
Allora si verifica il seguente:
Idea. Abbiamo appena letto l'enunciato del primo teorema di Bolzano-Weierstraß, che viene anche detta come la "forma insiemistica" di tale teorema: ora la vogliamo interpretare con le nozioni di successione, successione convergente, e di sotto successione. (Successione e SottosuccessioneSuccessione e Sottosuccessione)
Sia
Allora deve esistere una sotto successione convergente
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del secondo teorema di Bolzano-Weierstraß (^69cfa9Teorema 2 (Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß.))
Chiamo
Ora ci sono due possibilità: che
data: 2023-11-07
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Insiemi compatti in R
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di insiemi compatti in R; R come spazio metrico; teorema di caratterizzazione dei compatti in R; lemma di caratterizzazione della chiusura tramite la successione; dimostrazione del teorema.
Osserviamo che dal titolo leggiamo che stiamo in specifica prendendo l'insieme
Per approfondire questo tema rivolgersi alla dispensa di D.D.S., capitolo 10.2, p. 33.
Sia
Con questa definizione, un insieme compatto sembra un ente di cui è quasi impossibile da verificare: infatti diventa interessante trovare una caratterizzazione alternativa con un teorema.
Sia
Tesi. Allora
Prima di poter procedere alla dimostrazione, ci serve il seguente lemma.
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 2.1. (^9c1b28Lemma 5 (Caratterizzazione della chiusura tramite le successioni.))
Questo è un teorema del tipo
FIGURA 2.1.a. (La prima contraddizione)
FIGURA 2.1.b. (La seconda contraddizione)
Ora siamo pronti per dimostrare il teorema di caratterizzazione dei compatti.
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di caratterizzazione dei compatti (^759c9bTeorema 4 (Teorema di caratterizzazione dei compatti in R.))
Questo è un teorema del tipo se e solo se, quindi dimostriamo entrambi i lati delle implicazioni.
"
Per assurdo suppongo che
Per assurdo suppongo che
Però essendo
Come si può vedere
"
Prendo una successione
Se
data: 2023-11-07
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Successioni di Cauchy
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di successione di Cauchy; teorema sulla successione di Cauchy; teorema di completezza di R; esiti della dimostrazione del teorema di completezza di R.
Sia
Osserviamo che questa definizione è ben diversa dalla nozione di convergenza: con la convergenza abbiamo un punto che si avvicina ad un certo valore, invece qui abbiamo due punti
Tuttavia in
Se una successione in
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.2. (^6e84e5Teorema 3 (di caratterizzazione delle successioni convergenti))
Sia
In
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di completezza di R (^bc7fc3Teorema 4 (Completezza di R.))
La dimostrazione si articola in tre parti, ad ognuna con un suo esito.
Una successione di Cauchy è limitata. Infatti
Per il Secondo teorema di Bolzano-WeierstraßSecondo teorema di Bolzano-Weierstraß, se
"Se una successione di Cauchy ha una sottosuccessione convergente, allora la successione originaria è convergente.": infatti teniamo in conto i seguenti: